Zadanie 31 (0-4) - matura poziom podstawowy maj 2024, zadanie 31
2023
W schronisku dla zwierząt, na płaskiej powierzchni, należy zbudować ogrodzenie z siatki wydzielające trzy identyczne wybiegi o wspólnych ścianach wewnętrznych. Podstawą każdego z tych trzech wybiegów jest prostokąt (jak pokazano na rysunku). Do wykonania tego ogrodzenia należy zużyć 36 metrów bieżących siatki.
Schematyczny rysunek trzech wybiegów (widok z góry). Linią przerywaną zaznaczono siatkę.
Oblicz wymiary x oraz y jednego wybiegu, przy których suma pól podstaw tych trzech wybiegów będzie największa. W obliczeniach pomiń szerokość wejścia na każdy z wybiegów. Zapisz obliczenia.
Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2023/2024 - Matura maj (08.05.2024) poziom podstawowy
Analiza:
Liczymy maksymalne pole stąd:
P=ab
Podstawmy z rysunku a=3y, b=x.
P=3xy
Skorzystajmy z długości siatki, aby ograniczyć ilość zmiennych:
6y+4x=36
Stąd możemy wyznaczyć jedną zmienną i ustalić dziedzinę:
6y+4x=36 /:4
1,5y+x=9
x=9-1,5y
Stąd wiemy, że gdy y zmierza do 0 to x zmierza do 9.
Możemy ustalić dziedzinę:
0<x<9
6y+4x=36 /:6
Stąd wiemy, że gdy x zmierza do 0 to y zmierza do 6.
Możemy ustalić dziedzinę:
0<y<6
Teraz podstawmy pod równanie pola jedną z wyznaczonych zmiennych:
Rozpiszmy na postać iloczynową:
2x=0
x1=0
9-x=0
x2=9
Ponieważ pole jest wyrażone za pomocą funkcji kwadratowej, której graficznym przedstawieniem jest parabola z ramionami w dół (a=-2<0), to maksimum leży w wierzchołku paraboli. Wyznaczmy p:
Podstawmy pod y:
Odpowiedź:
Maksymalne pole osiągnięte będzie dla: x=3 i y=4,5
Wzór na pole na podstawie rysunku jak najbardziej można zapisać jako 3yx. Mnożenie jest przemienne więc można też zapisać w postaci 3xy, gdzie zmienne ułożone są w kolejności alfabetycznej. Forma zapisu nie wpływa na obliczenia i wynik.
Maksymalne pole to nie jest przypadkiem 3yx?
Wzór na pole na podstawie rysunku jak najbardziej można zapisać jako 3yx. Mnożenie jest przemienne więc można też zapisać w postaci 3xy, gdzie zmienne ułożone są w kolejności alfabetycznej. Forma zapisu nie wpływa na obliczenia i wynik.